La possibilité d'une île

Ou la création d'objets avec des fractales, un billet de blog de wiwaxia

Le 08/05/2017, par wiwaxia, Membre émérite

Suite du billet précédent.

La lecture du message à l'origine du premier billet m'avait remis en mémoire une brève indication algorithmique trouvée dans un livre paru il y a une vingtaine d'années, et concernant la création de reliefs fractals.
Le processus, très simple à mettre en oeuvre, consistait en la superposition sur un plan horizontal de marches d'escalier aléatoirement positionnées, et de hauteur égale à l'unité. Je n'ai pu remettre la main sur le texte, mais la transposition au triangle ne pose aucune difficulté; c'est l'objet de l'exposé qui suit, avec la description des variantes susceptibles de modifier radicalement l'aspect de l'image obtenue.

# Soit une variable Carte définie comme tableau d'entiers au format LongInt, dont les dimensions maximales correspondent à celles de l'image:

Code :

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 TYPE Tab_LInt = ARRAY[1..Dim_Max, 1..Dim_Max] OF LongInt; 
 VAR Carte: Tab_LInt;

et dont tous les élément utiles ont été initialisés à zéro par les instructions:

Code :

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     FOR x:= 1 TO Larg_Image DO 
       FOR y:= 1 TO Haut_Image DO Carte[x, y]:= 0;

On envisage une série de (N) étapes, au cours desquelles les coordonnées de trois points (A, B, C) du plan (xOy) font l'objet d'un tirage pseudo-aléatoire de densité uniforme, par des instructions du type:

Code :

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 TYPE Point = RECORD  x, y: LongInt  END; 
 VAR VeA, VeB, VeC, Vmin, Vmax: Point; 
 
 PROCEDURE TirageABC(VAR V1, V2, V3: Point); 
   VAR i: Byte; Ve: Point; 
   BEGIN 
     FOR i:= 1 TO 3 DO 
       BEGIN 
         Ve.x:= Random(Larg_Image); Inc(Ve.x); 
         Ve.y:= Random(Haut_Image); Inc(Ve.y); 
         CASE i OF  1: V1:= Ve; 2: V2:= Ve; 3: V3:= Ve  END 
       END 
   END; 
 
 TirageABC(VeA, VeB, VeC);

On augmente alors de (1) les valeurs de tous les points situés à l'intérieur du triangle (ABC), par le balayage systématique des cases présentes dans le rectangle circonscrit (voir le premier billet).
La plus grande valeur obtenue par incrémentation (Z_max) ayant été simultanément déterminée, on définit facilement une échelle de couleurs pour le transfert du pixel correspondant vers le corps de l'image:

Code :

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 PROCEDURE Init_1_MatIm(Zm, La, Ha: Z_32; VAR C_: Tab_LInt; VAR Ma: Tab_Pix); 
   CONST P000: Pixel = (0, 0, 0); 
         ListeC: ARRAY[0..9] OF Pixel = 
                 ((  0, 105,   0), (  0, 180,   0), (  0, 255,   0), 
                  (170, 255,   0), (255, 255,   0), (255, 170,   0), 
                  (210, 165,   0), (165, 165, 165), (210, 210, 210), (255, 255, 255)); 
   VAR i: Byte; x, y, z: Z_32; Kc: Reel; Px: Pixel; 
   BEGIN 
     Kc:= 10 / (Zm + 1); 
     FOR x:= 1 TO La DO 
       FOR y:= 1 TO Ha DO BEGIN 
                            z:= C_[x, y]; 
                            IF (z>0) THEN BEGIN 
                                            i:= Trunc(Kc * z); 
                                            Ma[x, y]:= ListeC[i] 
                                          END 
                                     ELSE Ma[x, y]:= P000 
                          END 
   END; 
 
   Init_1_MatIm(Zmax, Larg_Image, Haut_Image, Carte, Matr_Image);

Voici ce que donne l'algorithme dans le cas d'images carrées (250x250) et un nombre croissant de tirages, prenant successivement les valeurs:
N₁ = 16 , N₂ = 256 , N₃ = 4096 et N₄ = 65536:

Il y a manifestement pour (N) un domaine de valeurs optimales, de l'ordre de quelques centaines à quelques milliers, conduisant à des contours nettement irréguliers et dépourvus de segments rectilignes; par contre un nombre indéfiniment croissant de tirages produit un lissage des frontières, qui représentent à la limite les courbes d'équiprobabilité, pour un triangle quelconque, de contenir un point donné M_{(x, y)}.

# Les contours les plus irréguliers s'observant dans la région centrale de l'image, on peut reprendre le tracé en se restreignant au domaine des valeurs les plus élevées [Z_max/2 ; Z_max], par une modification mineure du code:

Code :

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     FOR x:= 1 TO La DO 
       FOR y:= 1 TO Ha DO BEGIN     
                            z:= 2 * C_[x, y]; Dec(z, Zm); 
                            IF (z>0) THEN BEGIN 
                                            i:= Trunc(Kc * z); 
                                            IF (z<0) THEN i:= 0; 
                                            Ma[x, y]:= ListeC[i] 
                                          END 
                                     ELSE Ma[x, y]:= P000 
                          END

Les autres données demeurant inchangées, apparaissent les images suivantes:

qui montrent, du point de vue de l'irrégularité des contours, une amélioration nette dans le second cas, plus atténuée pour le suivant.

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